CraigD Posted December 19, 2016 Report Share Posted December 19, 2016 I’m replying in a new thread because I’m straying off the subject of “The Relationships Between Prime Number And Fibonacci Number”, which is a conjecture about sums and differences of prime and Fibonacci numbers. Also interesting, if you visited the Fibonacci page, is that•Suppose we look at the final two digits in the Fibonacci numbers. Do they have a pattern? Yes, there is a pattern here too. After Fib(300) the last two digits repeat the same sequence again and again. The cycle length is 300 this time.So what about the last three digits?and the last four digits?and so on?? • For the last three digits, the cycle length is 1,500• for the last four digits,the cycle length is 15,000 and• for the last five digits the cycle length is 150,000• and so on... That is interesting. One of the things we’ve tried to do in our math topics here is avoid being biased in using only the base 10 numeral system (an accident, I think, of us having 10 fingers), or any fixed-base positional numeral system. So we can rewrite the above question from the Magic of the Fibonaccis page to“What is the cycle length of F mod 2? F mod 3? F mod n?”The original question, then is just a special case of this, “what is the cycle length of F mod 10? F mod 102? F mod 103? F mod 104? F mod 105? and so on?” Interestingly, when you observe the cycle length for n=2 to 100, you don’t see the smooth increase you see observing n=10, 100, 1000, etc, but this2 3: 0 1 1 3 8: 0 1 1 2 0 2 2 1 4 6: 0 1 1 2 3 1 5 20: 0 1 1 2 3 0 3 3 1 4 0 4 4 3 2 0 2 2 4 1 6 24: 0 1 1 2 3 5 2 1 3 4 1 5 0 5 5 4 3 1 4 5 3 2 5 1 7 16: 0 1 1 2 3 5 1 6 0 6 6 5 4 2 6 1 8 12: 0 1 1 2 3 5 0 5 5 2 7 1 9 24: 0 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 0 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 10 60: 0 1 1 2 3 5 8 3 1 4 5 9 4 3 7 0 7 7 4 1 5 6 1 7 8 5 3 8 1 9 0 9 9 8 7 5 2 7 9 6 5 1 6 7 3 0 3 3 6 9 5 4 9 3 2 5 7 2 9 1 11 10: 0 1 1 2 3 5 8 2 10 1 12 24: 0 1 1 2 3 5 8 1 9 10 7 5 0 5 5 10 3 1 4 5 9 2 11 1 13 28: 0 1 1 2 3 5 8 0 8 8 3 11 1 12 0 12 12 11 10 8 5 0 5 5 10 2 12 1 14 48: 0 1 1 2 3 5 8 13 7 6 13 5 4 9 13 8 7 1 8 9 3 12 1 13 0 13 13 12 11 9 6 1 7 8 1 9 10 5 1 6 7 13 6 5 11 2 13 1 15 40: 0 1 1 2 3 5 8 13 6 4 10 14 9 8 2 10 12 7 4 11 0 11 11 7 3 10 13 8 6 14 5 4 9 13 7 5 12 2 14 1 16 24: 0 1 1 2 3 5 8 13 5 2 7 9 0 9 9 2 11 13 8 5 13 2 15 1 17 36: 0 1 1 2 3 5 8 13 4 0 4 4 8 12 3 15 1 16 0 16 16 15 14 12 9 4 13 0 13 13 9 5 14 2 16 1 18 24: 0 1 1 2 3 5 8 13 3 16 1 17 0 17 17 16 15 13 10 5 15 2 17 1 19 18: 0 1 1 2 3 5 8 13 2 15 17 13 11 5 16 2 18 1 20 60: 0 1 1 2 3 5 8 13 1 14 15 9 4 13 17 10 7 17 4 1 5 6 11 17 8 5 13 18 11 9 0 9 9 18 7 5 12 17 9 6 15 1 16 17 13 10 3 13 16 9 5 14 19 13 12 5 17 2 19 1 21 16: 0 1 1 2 3 5 8 13 0 13 13 5 18 2 20 1 22 30: 0 1 1 2 3 5 8 13 21 12 11 1 12 13 3 16 19 13 10 1 11 12 1 13 14 5 19 2 21 1 23 48: 0 1 1 2 3 5 8 13 21 11 9 20 6 3 9 12 21 10 8 18 3 21 1 22 0 22 22 21 20 18 15 10 2 12 14 3 17 20 14 11 2 13 15 5 20 2 22 1 24 24: 0 1 1 2 3 5 8 13 21 10 7 17 0 17 17 10 3 13 16 5 21 2 23 1 25 100: 0 1 1 2 3 5 8 13 21 9 5 14 19 8 2 10 12 22 9 6 15 21 11 7 18 0 18 18 11 4 15 19 9 3 12 15 2 17 19 11 5 16 21 12 8 20 3 23 1 24 0 24 24 23 22 20 17 12 4 16 20 11 6 17 23 15 13 3 16 19 10 4 14 18 7 0 7 7 14 21 10 6 16 22 13 10 23 8 6 14 20 9 4 13 17 5 22 2 24 1 26 84: 0 1 1 2 3 5 8 13 21 8 3 11 14 25 13 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25 74 99 73 72 45 17 62 79 41 20 61 81 42 23 65 88 53 41 94 35 29 64 93 57 50 7 57 64 21 85 6 91 97 88 85 73 58 31 89 20 9 29 38 67 5 72 77 49 26 75 1 76 77 53 30 83 13 96 9 5 14 19 33 52 85 37 22 59 81 40 21 61 82 43 25 68 93 61 54 15 69 84 53 37 90 27 17 44 61 5 66 71 37 8 45 53 98 51 49 0 49 49 98 47 45 92 37 29 66 95 61 56 17 73 90 63 53 16 69 85 54 39 93 32 25 57 82 39 21 60 81 41 22 63 85 48 33 81 14 95 9 4 13 17 30 47 77 24 1 25 26 51 77 28 5 33 38 71 9 80 89 69 58 27 85 12 97 9 6 15 21 36 57 93 50 43 93 36 29 65 94 59 53 12 65 77 42 19 61 80 41 21 62 83 45 28 73 1 74 75 49 24 73 97 70 67 37 4 41 45 86 31 17 48 65 13 78 91 69 60 29 89 18 7 25 32 57 89 46 35 81 16 97 13 10 23 33 56 89 45 34 79 13 92 5 97 2 99 1Spoiler: these cycle lengths have been well understood since the 18th century, and are known as the Pisano period.I don’t understand the Pisano period very well. :( Yet. :) Turtle 1 Quote Link to comment Share on other sites More sharing options...
Turtle Posted December 23, 2016 Report Share Posted December 23, 2016 ...One of the things we’ve tried to do in our math topics here is avoid being biased in using only the base 10 numeral system (an accident, I think, of us having 10 fingers), or any fixed-base positional numeral system. So we can rewrite the above question from the Magic of the Fibonaccis page to“What is the cycle length of F mod 2? F mod 3? F mod n?”The original question, then is just a special case of this, “what is the cycle length of F mod 10? F mod 102? F mod 103? F mod 104? F mod 105? and so on?” Interestingly, when you observe the cycle length for n=2 to 100, you don’t see the smooth increase you see observing n=10, 100, 1000, etc, but this 2 3: 0 1 1 3 8: 0 1 1 2 0 2 2 1 4 6: 0 1 1 2 3 1 5 20: 0 1 1 2 3 0 3 3 1 4 0 4 4 3 2 0 2 2 4 1 6 24: 0 1 1 2 3 5 2 1 3 4 1 5 0 5 5 4 3 1 4 5 3 2 5 1 7 16: 0 1 1 2 3 5 1 6 0 6 6 5 4 2 6 1 8 12: 0 1 1 2 3 5 0 5 5 2 7 1 9 24: 0 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 0 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 10 60: 0 1 1 2 3 5 8 3 1 4 5 9 4 3 7 0 7 7 4 1 5 6 1 7 8 5 3 8 1 9 0 9 9 8 7 5 2 7 9 6 5 1 6 7 3 0 3 3 6 9 5 4 9 3 2 5 7 2 9 1 11 10: 0 1 1 2 3 5 8 2 10 1 12 24: 0 1 1 2 3 5 8 1 9 10 7 5 0 5 5 10 3 1 4 5 9 2 11 1 13 28: 0 1 1 2 3 5 8 0 8 8 3 11 1 12 0 12 12 11 10 8 5 0 5 5 10 2 12 1 14 48: 0 1 1 2 3 5 8 13 7 6 13 5 4 9 13 8 7 1 8 9 3 12 1 13 0 13 13 12 11 9 6 1 7 8 1 9 10 5 1 6 7 13 6 5 11 2 13 1 15 40: 0 1 1 2 3 5 8 13 6 4 10 14 9 8 2 10 12 7 4 11 0 11 11 7 3 10 13 8 6 14 5 4 9 13 7 5 12 2 14 1 16 24: 0 1 1 2 3 5 8 13 5 2 7 9 0 9 9 2 11 13 8 5 13 2 15 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the first dozen or so base expansions of the Fibonacci cycles in the Katabatak thread oh so long ago. (Don't bother looking for it as I deleted all my posts there several years ago.) Thanks for pumping up the list this time around Craig. :thumbs_up Quote Link to comment Share on other sites More sharing options...
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